要证明在减小\(T\)中一条边的权重后，\(T\)仍然是\(G\)的最小生成树，我们可以使用反证法。
假设通过减小\((x, y)\)边的权重并得到新的权重函数\(w'\)后，存在比\(T\)更小的生成树\(T'\)。由于最小生成树问题只有唯一解，所以\(T'\)和\(T\)必定有不同的边。
考虑在从树中删除\((x, y)\)边时，会产生两个互相连接的子图。一个子图包含\(x\)节点及其子节点，另一个子图包含\(y\)节点及其子节点。因为在原始最小生成树中，所有连接这两个子图之间的边都被\((x, y)\)替代了。
现在来看新生成树 \(T'\). 它必须包含至少一条连接这两个子图之间的边 \((u, v)\). 不妨设 \((u, v)\) 在 \(x,y \) 之间。那么 \((u,v)\) 必然与 \((x,y)\) 的路径上还有其他边连接着它们（可能经过其他节点）。否则，在原始最小生成树中就应该已经选择了这条边而不是 \((x,y)\).
现在我们将考虑替换掉 \(T'\) 中的 \((u,v)\) 边，并加入 \((x,y)\). 这样形成了一个新的生成树 \(T''\). 它和原始最小生成树 \(T\) 有共同的边，除了 \((u,v)\) 被替换为了 \((x,y)\).
考虑权重函数 \(w'\). 对于新生成树 \(T''\), 我们可以观察到：
- 对于所有与 \((x,y)\) 不相连的边，它们在 \(w'\) 中的权重保持不变。
- 对于边 \((u,v)\), 它在 \(w'\) 中的权重变成了 \(w(x,y)-k\).
由于我们假设 \(T'\) 比 \(T\) 更小，即总权重更小。所以，我们有：
\[ \begin{align*} \sum_{e \in T'} w(e) &< \sum_{e \in T} w(e) \\ \sum_{e \in T' - (u,v)} w(e) + w(u,v) &< \sum_{e \in T} w(e) \end{align*} \]
将其中所有的边替换为新的权重函数后得到：
\[ \begin{align*} \sum_{e \in T' - (u,v)} w'(e) + (w(x,y)-k) &< \sum_{e \in T} w'(e) \end{align*} \]
但是这里要注意，在上述式子中，\((u,v)\) 边被替换成了 \((x,y)\) 边，并且其他未改变的边仍然保持不变。因此，我们可以得出：
\[ \begin{align*} \sum_{e \in T''} w'(e) &< \sum_{e \in T} w'(e) \end{align*} \]
这就产生了矛盾，因为我们假设 \(T'\) 是比 \(T\) 更小的生成树，但是通过替换边后得到了一个权重更大的生成树 \(T''\). 所以我们的假设是错误的。
因此，证明了在减小\(T\)中一条边的权重后，\(T\)仍然是\(G\)的最小生成树。
内容由零声教学AI助手提供，问题来源于学员提问
